1. Искусственный спутник движется по круговой орбите вокруг Земли. Укажите все правильные утверждения:
А. Импульс спутника по модулю не изменяется.
Это утверждение верно. Когда спутник движется по круговой орбите, его скорость по модулю остается постоянной, а масса спутника также не меняется. Следовательно, импульс, который равен произведению массы на скорость, по модулю остается постоянным.
В. Импульс спутника направлен к центру Земли.
Это утверждение неверно. Импульс всегда направлен в сторону движения объекта, следовательно, он будет направлен по касательной к траектории спутника, а не к центру Земли.
С. Импульс спутника направлен по касательной к траектории.
Это утверждение верно. Импульс спутника направлен в ту же сторону, что и скорость, а скорость при круговом движении всегда направлена по касательной к траектории.
2. Шар массой 100 г, движущийся со скоростью 6 м/с, догоняет второй шар массой 400 г, движущийся со скоростью 1 м/с, и сцепляется с ним. Определите скорость шаров после взаимодействия.
Для решения этой задачи используем закон сохранения импульса:
[
m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m2) v{\text{общ}}
]
Подставим значения:
[
0.1 \cdot 6 + 0.4 \cdot 1 = (0.1 + 0.4) v_{\text{общ}}
]
[
0.6 + 0.4 = 0.5 v_{\text{общ}}
]
[
1 = 0.5 v_{\text{общ}}
]
[
v_{\text{общ}} = 2 \, \text{м/с}
]
3. Пуля массой 10 г влетает в доску толщиной 5 см со скоростью 800 м/с и вылетает из неё со скоростью 100 м/с. Какова сила сопротивления, действующая на пулю внутри доски.
Сначала найдем изменение импульса пули:
Начальный импульс: ( p_1 = m \cdot v_1 = 0.01 \cdot 800 = 8 \, \text{кг}\cdot\text{м/с} )
Конечный импульс: ( p_2 = m \cdot v_2 = 0.01 \cdot 100 = 1 \, \text{кг}\cdot\text{м/с} )
Изменение импульса: (\Delta p = p_2 - p_1 = 1 - 8 = -7 \, \text{кг}\cdot\text{м/с} )
Используем формулу для силы сопротивления, учитывая, что она действует на протяжении времени, за которое пуля проходит через доску. Предположим, что время нахождения пули в доске ( t ) может быть получено из уравнения движения. Но для простоты, если мы не знаем точное значение времени, используем связь с изменением импульса и средним значением силы:
[
F = \frac{\Delta p}{t}
]
Поскольку мы не знаем точного времени ( t ), можем использовать среднюю скорость и расстояние, чтобы оценить ( t ):
Средняя скорость: ( v_{\text{ср}} = \frac{800 + 100}{2} = 450 \, \text{м/с} )
Время прохождения: ( t = \frac{0.05}{450} \approx 1.11 \times 10^{-4} \, \text{с} )
Теперь найдем силу:
[
F = \frac{-7}{1.11 \times 10^{-4}} \approx -63063 \, \text{Н}
]
4. Кинетическая энергия тела, подброшенного вверх, во время бросания равна 200 Дж. Определите, до какой высоты от поверхности земли может подняться тело, если его масса равна 500 г. Какова будет скорость тела на высоте 10 м?
Сначала найдем максимальную высоту, на которую может подняться тело, используя закон сохранения энергии. Кинетическая энергия полностью переходит в потенциальную энергию в верхней точке:
[
E{\text{к}} = E{\text{п}}
]
[
200 = mgh
]
[
h = \frac{200}{0.5 \cdot 9.8} \approx 40.82 \, \text{м}
]
Теперь найдем скорость на высоте 10 м, используя закон сохранения энергии:
Полная механическая энергия в начальной точке:
[
E{\text{м}} = E{\text{к нач}} = 200 \, \text{Дж}
]
На высоте 10 м:
[
E{\text{м}} = E{\text{к}} + E_{\text{п}}
]
[
200 = \frac{1}{2} m v^2 + mgh
]
[
200 = \frac{1}{2} \cdot 0.5 \cdot v^2 + 0.5 \cdot 9.8 \cdot 10
]
[
200 = 0.25 v^2 + 49
]
[
151 = 0.25 v^2
]
[
v^2 = \frac{151}{0.25} = 604
]
[
v = \sqrt{604} \approx 24.57 \, \text{м/с}
]
Таким образом, скорость тела на высоте 10 м составляет примерно 24.57 м/с.
